【ฉบับพิมพ์หนังสือเรียนของสำนักงานการศึกษาแห่งชาติ】คณิตศาสตร์มัธยมต้น ชั้นมัธยมศึกษาปีที่ 3 ภาคเรียนที่ 2: จากโมเดลจริงสู่การสรุปเชิงคณิตศาสตร์: นิยามและรูปแบบหลายรูปแบบของฟังก์ชันแปรผกผัน

ฟังก์ชันแปรผกผันอธิบายความสัมพันธ์เชิงพลวัตระหว่างตัวแปรสองตัวที่เกิดขึ้นในลักษณะ "เพิ่มขึ้นเมื่ออีกตัวลดลง" หรือ "ผลคูณคงที่" โดยบทเรียนนี้ใช้โมเดลทางกายภาพและเรขาคณิต เช่น การเคลื่อนที่ของรถไฟความเร็วสูงและการแจกจ่ายปริมาตร เพื่อนำนักเรียนจากความเข้าใจเชิงอารมณ์มาสู่การสรุปเชิงพีชคณิตอย่างมีเหตุผล

นิยามเชิงคณิตศาสตร์ของฟังก์ชันแปรผกผัน

โดยทั่วไป ฟังก์ชันที่มีรูปแบบ $y = \frac{k}{x}$ ($k$ เป็นค่าคงที่ และ $k \neq 0$) เรียกว่าฟังก์ชันแปรผกผัน (inverse proportional function)โดยที่ $x$ เป็นตัวแปรอิสระ และ $y$ เป็นฟังก์ชัน ช่วงค่าของตัวแปรอิสระ $x$ คือจำนวนจริงทุกจำนวนที่ไม่เท่ากับ 0

ข้อจำกัดหลัก: ทำไม $k \neq 0$ และ $x \neq 0$?

$k \neq 0$หาก $k=0$ จะทำให้ $y=0$ ฟังก์ชันจะสูญเสียลักษณะเชิงสัดส่วนของการควบคุมซึ่งกันและกันของตัวแปร
$x \neq 0$ในเศษส่วน ตัวหารไม่สามารถเป็นศูนย์ได้; ในความหมายเชิงประจักษ์ ตัวแปรอย่างเวลาหรือพื้นที่ก็ไม่สามารถเป็นศูนย์ได้

การแสดงออกหลากหลายรูปแบบ

เพื่อตอบสนองต่อคำถามประเภทต่างๆ ได้อย่างยืดหยุ่น เราจำเป็นต้องเข้าใจสามรูปแบบที่เทียบเท่ากันของฟังก์ชันแปรผกผัน:

รูปแบบมาตรฐาน: $y = \frac{k}{x}$
รูปแบบผลคูณ: $xy = k$ (มักใช้ในการหาค่า $k$)
รูปแบบเลขชี้กำลัง: $y = kx^{-1}$ (มักใช้ในการตรวจสอบสมการ)

🎯 กฎสำคัญ

การตัดสินว่าฟังก์ชันใดเป็นฟังก์ชันแปรผกผัน ควรพิจารณาจากตัวแปรสองตัวที่ผลคูณเป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์หรือไม่។

คำถามที่ 1

ในสมการใดบ้างที่ $y$ เป็นฟังก์ชันแปรผกผันของ $x$?

$y=-\frac{2}{x}$ 和 $xy=123$

$y=4x$ 和 $\frac{y}{x}=3$

$y=6x+1$ 和 $y=x^2-1$

$y=\frac{1}{x^2}$

คำถามที่ 2

สระว่ายน้ำมีปริมาตร 2,000 ลูกบาศก์เมตร ระยะเวลา $t$ ที่ใช้เติมน้ำให้เต็มสระว่ายน้ำจะเปลี่ยนแปลงตามอัตราการไหลของน้ำ $v$ ฟังก์ชันนี้มีสมการเป็น:

$t = 2000v$

$t = \frac{2000}{v}$

$v = 2000t$

$tv = 1$

คำถามที่ 3

สำหรับฟังก์ชัน $y = (m-1)x^{m^2-2}$ หากมันเป็นฟังก์ชันแปรผกผัน ค่า $m$ คือ:

$1$

$-1$

$\pm 1$

$0$

คำถามที่ 4

ทราบว่า น้ำหนักของวัตถุหนึ่งคือ 100 นิวตัน ความดัน $p$ (หน่วยเป็นพาสคาล) ที่วัตถุกระทำต่อพื้นดินจะเปลี่ยนแปลงตามพื้นที่สัมผัส $S$ (หน่วยเป็นตารางเมตร) สมการคือ:

$p = \frac{100}{S}$

$p = 100S$

$S = 100p$

$pS = 1$

คำถามที่ 5

เกี่ยวกับฟังก์ชันแปรผกผัน $y = \frac{k}{x}$ ข้อใดต่อไปนี้เป็นข้อความที่ผิด?

$k$ เป็นค่าคงที่และ $k \neq 0$

ตัวแปรอิสระ $x$ สามารถเป็นจำนวนจริงใด ๆ ได้

ผลคูณของตัวแปร $x$ และ $y$ เป็นค่าคงที่

มันสามารถเขียนในรูป $y = kx^{-1}$ ได้

การสำรวจเชิงรวม: จากโลกความจริงสู่สมการ

การสร้างแบบจำลองและการระบุโครงสร้าง

[การอ่านเข้าใจ]

已知北京市的总面积为 $1.68 \times 10^4 \text{ km}^2$，人均占有面积 $S$（单位：$\text{km}^2/\text{人}$）随全市总人口 $n$（单位：人）的变化而变化。

คำถาม:ตัวแปร $S$ และ $n$ มีความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชันหรือไม่? หากมี สมการคืออะไร? มีลักษณะร่วมกันอย่างไร?

1. มีความสัมพันธ์เป็นฟังก์ชัน 对于总人口 $n$ 的每一个确定的值，人均面积 $S$ 都有唯一确定的值与其对应。
2. สมการ: $S = \frac{1.68 \times 10^4}{n}$
3. ลักษณะร่วมกัน: สอดคล้องกับรูปแบบ $y = \frac{k}{x}$ กล่าวคือ ผลคูณของตัวแปรสองตัวเป็นค่าคงที่ที่ไม่ใช่ศูนย์ ($Sn = 1.68 \times 10^4$)

[การสร้างแบบจำลองทางเรขาคณิต]

ทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากหนึ่งมีปริมาตร 1,000 ลูกบาศก์เซนติเมตร ความสูง $h$ ของทรงสี่เหลี่ยมมุมฉากจะเปลี่ยนแปลงตามพื้นที่ฐาน $S$

สมการคือ: $h = \frac{1000}{S}$ ซึ่งแสดงว่าเมื่อปริมาตรคงที่ ความสูงจะสัมพันธ์แปรผกผันกับพื้นที่ฐาน